Большая советская энциклопедия - обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению ее тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| ? 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ? 1; две последние функции малоупотребительны. Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определенные однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — p/2 ? arc sin х ? p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 ? arc cos х ? p, — p/2 < arc tg x < p/2, 0 ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например n = 0, ±1, ±2, … Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы вытекает, что Производные О. т. ф. имеют вид О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например эти ряды сходятся для —1 ? x ? 1. О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.